Question

9．已知递增的等比数列{a_n}前三项之积为8，且这三项分别加上1、2、2后又成等差数列．
（1）求等比数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n+2n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等比数列前三项分别为a₁，a₂，a₃，
则a₁+1、a₂+2、a₃+2又成等差数列．
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{a}_{2}{a}_{3}=8}\\{2（{a}_{2}+2）=（{a}_{1}+1）（{a}_{3}+2）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}•{a}_{1}q•{a}_{1}{q}^{2}=8}\\{2（{a}_{1}q+2）={a}_{1}+1+{a}_{1}{q}^{2}+2}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=4}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$（数列{a_n}为递增等比数列，舍去），
∴数列{a_n}的通项公式：a_n=2^n-1；
（2）由b_n=a_n+2n得，b_n=2^n-1+2n，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=（2⁰+2×1）+（2¹+2×2）+（2²+2×3）+…+（2^n-1+2n）
=（2⁰+2¹+2²+…+2^n-1）+2（1+2+3+…+n）
=$\frac{{2}^{0}（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ+n²+n-1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．