题目内容
8．已知椭圆的两个焦点为F1（-$\sqrt{3}$，0），F2（$\sqrt{3}$，0），离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l：y=x+m，若l与椭圆交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；
（3）若直线l：y=x+m，若l与椭圆交于两个不同的点A和B，且使$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，问这样的直线存在吗？若存在求m的值，若不存在说明理由．
分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，解方程可得m；
（3）直线y=x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，结合OA⊥OB⇒$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可求m值．
解答 解：（1）由题意可得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又b2=a2-c2=4-3=1，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$⇒x2+4（m+x）2-4=0⇒5x2+8mx+4m2-4=0（*）
所以x1+x2=-$\frac{8m}{5}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
由题意可得|PQ|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{25}-\frac{16（{m}^{2}-1）}{5}}$=2，
解得m=±$\frac{\sqrt{30}}{4}$；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$⇒x2+4（m+x）2-4=0⇒5x2+8mx+4m2-4=0（*）
所以x1+x2=-$\frac{8m}{5}$，x1x2=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
y1y2=（m+x1）（m+x2）=m2+m（x1+x2）+x1x2=m2-$\frac{8}{5}$m2+$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$，
由OA⊥OB⇒$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，得x1x2+y1y2=0，
即为$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$+$\frac{{m}^{2}-4}{5}$=0，解得m=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
又方程（*）要有两个不等实根，△=（-8m）2-4×5（4m2-4）＞0，
-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$，m的值符合上面条件．
所以m=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，以及弦长公式，和直线垂直的条件，化简整理，属于中档题．
导学全程练创优训练系列答案| A． | {3} | B． | {1，2} | C． | {0，1，2} | D． | {0，1，2，3} |
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分也不必要条件 |
已知：过抛物线x2=4y的焦点F的直线交抛物线于A，B两个不同的点，过A，B分别作抛物线的切线，且二者相交于点C．| A． | （0，2） | B． | （1，3） | C． | （0，2] | D． | [1，3] |