Question

已知函数f（x）=cos²x-2sinxcosx-sin²x．
（1）在给定的坐标系（如图）中，作出函数f（x）在区间[o，π]上的图象；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

2

，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）化简函数的解析式为 f（x）=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），用五点法做出图象．
（2）根据x的范围，可得2x+

π

4

的范围，根据余弦函数的单调性求得当2x+

π

4

=-

3π

4

 时，f（x）取最小值-1，
当2x+

π

4

=0时f（x）取最大值

2

．

解答：解：（1）f（x）=cos2x-sin2x=

2

cos（2x+

π

4

），
因为x∈[0，π]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
f（x）	1	0	- 2	0	2	1

（2）因为x∈[-

π

2

，0]，所以2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，当2x+

π

4

=-

3π

4

 时f（x）取最小值-1，当2x+

π

4

=0时f（x）取
最大值

2

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换，用五点法作余弦函数的图象，余弦函数的定义域和值域，作图是解题的难点．