题目内容
3．
已知直线l的方程为x=-2，且直线l与x轴交于点M，圆O：x2+y2=1与x轴交于A，B两点（如图）．（Ⅰ）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且圆弧PQ恰为圆周的$\frac{1}{4}$，求直线l1的方程；
（Ⅱ）求中心在原点，焦点在x轴，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且与圆O恰有两个公共点的椭圆方程；
（Ⅲ）过M点的圆的切线l2交（Ⅱ）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长．
分析 （Ⅰ）可设直线l1的方程为y=k（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得；
（Ⅱ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），易得a=1或b=1，分别可得b和a值，可得方程；
（Ⅲ）可设直线l2的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2）和椭圆联立可得5x2+8x+2=0，由弦长公式可得．
解答 解：（Ⅰ）∵圆孤PQ恰为圆周的$\frac{1}{4}$，∴∠POQ=$\frac{π}{2}$，
∴点O到直线l1的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设直线l1的方程为y=k（x+2），
∴$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直线l1的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+2）；
（Ⅱ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵椭圆与圆O恰有两个公共点，∴a=1或b=1，
当a=1时，c=$\frac{1}{2}$，b2=a2-c2=$\frac{3}{4}$，所求椭圆方程为x2+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
同理当b=1时，可得a2=2，所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1；
（Ⅲ）设切点为N，由题意可得椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1，
在RT△MON中，MO=2，ON=1，则∠NMO=30°，
∴直线l2的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+2），
代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1整理可得5x2+8x+2=0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
由韦达定理可得x1+x2=-$\frac{8}{5}$，x1x2=$\frac{2}{5}$，
由弦长公式可得线段CD的长|CD|=$\sqrt{（1+\frac{1}{3}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$
点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长公式和距离公式，属中档题．
| A． | 40° | B． | 50° | C． | 60° | D． | 70° |
| A． | （-8，-8） | B． | （6，6） | C． | （8，8） | D． | （6，6）或（-8，-8） |