如图.在平面直角坐标系中.O为坐标原点.点A的坐标为.点C的坐标为.点P在射线AB上运动.连结CP与y轴交于点D.连结BD．过P.D.B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E.延长DQ交⊙Q于点F.连结EF.BF．(1)求直线AB的函数解析式,(2)当点P在线段AB上时．①求证:∠BDE=∠ADP,②设DE=x.DF=y．请求出y关于x的函数解析式,(3)请你探究:点P在运动过程� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P，D，B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF．

（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时．
①求证：∠BDE=∠ADP；
②设DE=x，DF=y．请求出y关于x的函数解析式；
（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由．

考点：相似三角形的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,综合题

分析：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，把（4，0）代入即可；
（2）①先证出△BDO≌△COD，得出∠BDO=∠CDO，再根据∠CDO=∠ADP，即可得出∠BDE=∠ADP，
②先连结PE，根据∠ADP=∠DEP+∠DPE，∠BDE=∠ABD+∠OAB，∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，得出∠DPE=∠OAB，再证出∠DFE=∠DPE=45°，最后根据∠DEF=90°，得出△DEF是等腰直角三角形，从而求出DF=

DE，即y=

x；
（3）当

=2时，过点F作FH⊥OB于点H，则∠DBO=∠BFH，再证出△BOD∽△FHB，

=2，得出FH=2，OD=2BH，再根据∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，得出四边形OEFH是矩形，OE=FH=2，EF=OH=4-

OD，根据DE=EF，求出OD的长，从而得出直线CD的解析式为y=

，再联解直线方程即可求出点P的坐标；
当

时，连结EB，先证出△DEF是等腰直角三角形，过点F作FG⊥OB于点G，同理可得△BOD∽△FGB，

，得出FG=8，OD=

BG，再证出四边形OEFG是矩形，求出OD的值，再求出直线CD的解析式，最后联解直线方程即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，
代入（4，0）得：4k+4=0，解得k=-1，
则直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，
又∵OD=OD，∴△BDO≌△CDO，可得∠BDO=∠CDO，
∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，
②连结PE，
∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，
∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，
∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，
∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，可得∠DPE=45°，
∴∠DFE=∠DPE=45°，
∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，可得△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=

DE，即y=

x；
（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，
∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，
又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，可得

=2，得FH=2，OD=2BH，
∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，可得OE=FH=2，EF=OH=4-

OD，
∵DE=EF，∴2+OD=4-

OD，解得OD=

，