题目内容
【题目】已知点,
是抛物线
上的两个动点,
是坐标原点,向量
,
满足
.设圆
的方程为
.
(1)证明线段是圆
的直径;
(2)当圆的圆心到直线
的距离的最小值为
时,求
的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)2
【解析】
(1)根据两个向量模长之间的关系,两边平方,移项合并得到数量积为零,用坐标表示出来,根据点是圆上的点,得到线段垂直,从而数量积为零,把两个式子进行比较,整理得到结果;(2)根据两个点是抛物线.上的点,把点的坐标代入抛物线方程,整理变形得到圆心的轨迹方程,表示出圆心到直线的距离,根据二次函数的最值得到结果.
(1)∵,
∴.
∴.
∵,
∴在圆
上,
同理在圆
上.
又∵的中点
为圆
的圆心,
∴线段是圆
的直径
(2)设圆的圆心为
.
∵,
,
∴,
又.
∴.
∵,
,
∴
.∴.
所以圆心的轨迹方程为:.
设圆心到直线
的距离为
,则
,
所以当时,
有最小值,
由题设,
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目