题目内容
【题目】
按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为
元，如果他卖出该产品的单价为
元，则他的满意度为
；如果他买进该产品的单价为
元，则他的满意度为
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为
和
，则他对这两种交易的综合满意度为
.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为
元和
元，甲买进A与卖出B的综合满意度为
，乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式；当
时，求证：=；
(2)设，当、分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为
，试问能否适当选取、的值，使得
和
同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【答案】(1)见解析（2）即
时，甲乙两人同时取到最大的综合满意度为
.
(3) 不存在满足条件的
、
的值
【解析】
本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。
(1)
当
时，
,
,
=
（2）当时，
由
，
故当
即时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
（3）（方法一）由（2）知：
=
由
得：
，
令
则
，即：
。
同理，由
得：
另一方面，
当且仅当
，即=时，取等号。
所以不能否适当选取、的值，使得
和
同时成立，但等号不同时成立。
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