Question

9．有下列命题
（1）函数f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）（x∈R）的表达式可改写为y=4cos（2x-$\frac{π}{6}$）；
（2）函数y=cos（sinx）（x∈R）为偶函数；
（3）函数y=sin|x|是周期函数，且周期为2π；
（4）若cosα=cosβ，则α-β=2kπ，k∈Z；
（5）设函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$的最大值为M，最小值为m，则M+m=4，其中正确的命题序号是（1）（2）．

Answer 1

分析 根据诱导公式，可判断（1）；根据偶函数的定义，可判断（2）；根据周期函数的定义，可判断（3）；根据诱导公式，及余弦的定义，可判断（4）；根据函数奇偶性的性质，可判断（5）；

解答 解：f（x）=4sin（2x+$\frac{π}{3}$）=4cos[$\frac{π}{2}$-（2x+$\frac{π}{3}$）]=4cos（-2x+$\frac{π}{6}$）=4cos（2x-$\frac{π}{6}$），故（1）正确；
令f（x）=y=cos（sinx），则f（x）=cos[sin（-x）]=cos（-sinx）=cos（sinx），故函数为偶函数，故（2）正确，
函数y=sin|x|不是周期函数，故（3）错误；
若cosα=cosβ，则α-β=2kπ，k∈Z，或α+β=2kπ，k∈Z，故（4）错误；
函数f（x）=$\frac{（x+1）^{2}+sinx}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+1}$，其中y=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+1}$为奇函数，
设y=$\frac{2x+sinx}{{x}^{2}+1}$的最大值为N，最小值为n，则N+n=0，M=N+1，m=n+1，
∴M+m=2，故（5）错误．
故答案为：（1）（2）

点评 本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的奇偶性，周期性，诱导公式等知识点，难度中档．