题目内容
【题目】已知椭圆C的右焦点F(1,0),过F的直线l与椭圆C交于A,B两点,当l垂直于x轴时,|AB|=3.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在点T,使得 为定值?若存在,求出点T坐标,若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:设椭圆C的标准方程为 =1,a>b>0,
由已知可得: =3,c=1,
又a2=b2+c2,
解得 ,
故所求椭圆C的方程为 =1
(2)解:设存在满足条件的点T(t,0),
当直线AB斜率不为0时,可设直线AB为x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
将x=my+1代入C得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,
显然△>0,且y1+y2= ,y1y2=
,x1+x2=
,x1x2=
.
∴ =(x1﹣t)(x2﹣t)+y1y2=x1x2﹣t(x1+x2)+t2+y1y2=
+t2﹣2t+1,
要使 为定值须有
=
,得t=
,
此时T( ,0),
为定值﹣
.
当直线AB斜率为0时, =﹣
.
故存在点T( ,0)满足题设
【解析】(1)设椭圆C的标准方程为 =1,a>b>0.,由已知可得:
=3,c=1,又a2=b2+c2 , 解出即可得出.(2)设存在满足条件的点T(t,0),当直线AB斜率不为0时,可设直线AB为x=my+1,将直线方程代入C得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,利用根与系数的关系、向量数量积运算性质可得:
=
+t2﹣2t+1,要使
为定值须有
=
,得t,即可得出;当直线AB斜率为0时,
直接得出.
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