题目内容
已知数列{an}的通项公式为an=2n-1+1．（1）若Sn=a1Cn+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn，（n∈N*），求证：当n为偶数时，Sn-2n-4n-1能被64整除．
（2）是不是存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立？若存在，求数列{bn}的通项公式；若不存在，则请说明理由．
（3）记Tn=1!Cn1+2!Cn2+3!Cn3+…+n!Cnn（n=1，2，3，…），当n≥2时，求证：（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）≤3-
．
【答案】分析：（1）利用二项式定理、二项式系数的性质化简Sn 为3n+2n，设n=2k，k∈z+，则Sn-2n-4n-1=3n -4n-1=9k-8k-1，用数学归纳法证明它能被64整除．
（2）分别令n=1、2、3 求出b1 =1，b2 =2，b3=3，若存在等差数列{bn}，则 bn =n，由Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =
2n-1 成立，可得Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（an-1）=n2n-1 对一切n∈N*都成立，故却是存在等差数列{bn}，满足条件．
（3）要证的不等式即：（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）≤3-
，用数学归纳法和放缩法证明此不等式成立．
解答：（1）证明：由已知得，Sn =a1Cn+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn=（1+1）Cn+（2+1）Cn1+（22+1）Cn2+…+（2n）Cnn
=（Cn+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn）+（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn）=（1+2）n+2n=3n+2n．
当n为偶数时，设n=2k，k∈z+，则Sn-2n-4n-1=3n -4n-1=9k-8k-1．
当k=1时，9k-8k-1=0，显然能被64整除．
假设 9m-8m-1 能被64整除m为正整数，则n=m+1时，9k-8k-1=99m-8m-8-1=9（9m-8m-1 ）+64m，
由假设知，9（9m-8m-1 ）能被64整除，再由64m 也能被64整除，
可得k=m+1时，9m-8m-1仍能被64整除．
综上可得当n为偶数时，Sn-2n-4n-1 能被64整除．
（2）∵b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，an=2n-1+1，
故当n=1时，有 b1 =a1 -1=1，
当n=2时，有 2 b1 +b2 =2（a2 -1）=4，∴b2 =2．
当n=3时，有 3b1 +3b2+b3=3（a3-1），即 3+6+b3=3×4，∴b3=3．
若存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，则应有bn =n．
由二项式定理可得 Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =2n-1 成立，
故有n（Cn-1+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=n•2n-1，即Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（an-1）=n2n-1 对一切n∈N*都成立，
故存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，此时，bn =n．
（3）Tn=1!Cn1+2!Cn2+3!Cn3+…+n!Cnn（n=1，2，3，…），
由题意可得
=
=
，∴3-
=3-
．
要证的不等式即：（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）≤3-
．
当n=2时，不等式的左边等于 （1+
）（1+
）=
，右边等于3-
=
，不等式成立．
假设n=k时，不等式成立，即：（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）≤3-
，
则n=k+1时，不等式的左边等于：（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）（1+
）≤（3-
）（1+
）
≤（3-
）（1+
）=3+
＜3-
=3-
=右边，
故n=k+1时，（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）≤3-
也成立．
综上可得：（1+
）（1+
）（1+
）…（1+
）≤3-
成立．
点评：本题主要考查用裂项法对数列进行求和，用数学归纳法证明等式和不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，属于难题．
（2）分别令n=1、2、3 求出b1 =1，b2 =2，b3=3，若存在等差数列{bn}，则 bn =n，由Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =
2n-1 成立，可得Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（an-1）=n2n-1 对一切n∈N*都成立，故却是存在等差数列{bn}，满足条件．
（3）要证的不等式即：（1+
）（1+）（1+）…（1+）≤3-，用数学归纳法和放缩法证明此不等式成立．解答：（1）证明：由已知得，Sn =a1Cn+a2Cn1+a3Cn2+…+an+1Cnn=（1+1）Cn+（2+1）Cn1+（22+1）Cn2+…+（2n）Cnn
=（Cn+2Cn1+22Cn2+…+2nCnn）+（Cn+Cn1+Cn2+…+Cnn）=（1+2）n+2n=3n+2n．
当n为偶数时，设n=2k，k∈z+，则Sn-2n-4n-1=3n -4n-1=9k-8k-1．
当k=1时，9k-8k-1=0，显然能被64整除．
假设 9m-8m-1 能被64整除m为正整数，则n=m+1时，9k-8k-1=99m-8m-8-1=9（9m-8m-1 ）+64m，
由假设知，9（9m-8m-1 ）能被64整除，再由64m 也能被64整除，
可得k=m+1时，9m-8m-1仍能被64整除．
综上可得当n为偶数时，Sn-2n-4n-1 能被64整除．
（2）∵b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，an=2n-1+1，
故当n=1时，有 b1 =a1 -1=1，
当n=2时，有 2 b1 +b2 =2（a2 -1）=4，∴b2 =2．
当n=3时，有 3b1 +3b2+b3=3（a3-1），即 3+6+b3=3×4，∴b3=3．
若存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，则应有bn =n．
由二项式定理可得 Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1 =2n-1 成立，
故有n（Cn-1+Cn-11+Cn-12+Cn-13++Cn-1n-1）=n•2n-1，即Cn1+2Cn2+…+nCnn=n（an-1）=n2n-1 对一切n∈N*都成立，
故存在等差数列{bn}，使得b1Cn1+b2Cn2+…+bnCnn=n（an-1）对一切n∈N*都成立，此时，bn =n．
（3）Tn=1!Cn1+2!Cn2+3!Cn3+…+n!Cnn（n=1，2，3，…），
由题意可得
==，∴3-=3-．要证的不等式即：（1+
）（1+）（1+）…（1+）≤3-．当n=2时，不等式的左边等于 （1+
）（1+）=，右边等于3-=，不等式成立．假设n=k时，不等式成立，即：（1+
）（1+）（1+）…（1+）≤3-，则n=k+1时，不等式的左边等于：（1+
）（1+）（1+）…（1+）（1+）≤（3- ）（1+）≤（3-
）（1+）=3+＜3-=3-=右边，故n=k+1时，（1+
）（1+）（1+）…（1+）≤3-也成立．综上可得：（1+
）（1+）（1+）…（1+）≤3-成立．点评：本题主要考查用裂项法对数列进行求和，用数学归纳法证明等式和不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，属于难题．
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已知数列{an}的通项为an=2n-1，Sn为数列{an}的前n项和，令bn=
，则数列{bn}的前n项和的取值范围为（ ）
| 1 |
| Sn+n |
A、[
| ||||
B、(
| ||||
C、[
| ||||
D、[
|