题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求
的最大值与最小值;
(Ⅱ)讨论方程的实根的个数.
【答案】(1) 最小值是,最大值是
;(2)
时,方程
有1个实根;
时,方程
有3个实根.
【解析】试题分析:(1) ,明确函数的单调性,求出极值与端点值,比较后得最值;(2)方程
的实根的个数即
的图象与x轴的交点个数,分类讨论函数
的单调性,借助极值与0的关系确定交点个数.
试题解析:
(Ⅰ)因为,
所以,
令得
,
的变化如下表:
在
上的最小值是
,
因为,
所以在
上的最大值是
.
(Ⅱ),
所以或
,
设,则
,
时,
,
时,
,
所以在
上是增函数,在
上是减函数,
,
且,
(ⅰ)当时,即
时,
没有实根,方程
有1个实根;
(ⅱ)当时,即
时,
有1个实根为零,方程
有1个实根;
(ⅲ)当时,即
时,
有2不等于零的实根,方程
有3个实根.
综上可得, 时,方程
有1个实根;
时,方程
有3个实根.
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