题目内容
【题目】如图,
是圆柱的上、下底面圆的直径,
是边长为2的正方形,
是底面圆周上不同于
两点的一点,
.
(1)求证: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意结合几何关系可证得,
,结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;
(2)建立空间直角坐标系,结合平面的法向量可得二面角的余弦值是
.
试题解析:
(1)由圆柱性质知: 平面
,
又平面
,∴
,
又是底面圆的直径,
是底面圆周上不同于
两点的一点,∴
,
又,
平面
,
∴平面
.
(2)解法1:过作
,垂足为
,由圆柱性质知平面
平面
,
∴平面
,又过
作
,垂足为
,连接
,
则即为所求的二面角的平面角的补角,
,
易得
,
,
,
∴,
由(1)知,∴
,
∴,∴
,
∴所求的二面角的余弦值为.
解法2:过在平面
作
,建立如图所示的空间直角坐标系,
∵,
,∴
,∴
,
,
,
∴,
,
平面的法向量为
,设平面
的法向量为
,
,即
,取
,
∴,
∴所求的二面角的余弦值为.
解法3:如图,以为原点,
分别为
轴,
轴,圆柱过点
的母线为
轴建立空间直角坐标系,则
,
,
,
,
,
∴,
,
,
,
设是平面
的一个法向量,
则,
,即
,令
,则
,
,
∴,
,
设是平面
的一个法向量,
则,
,即
,令
,则
,
.
∴,
,
∴,
∴所求的二面角的余弦值为.
解法4:由(1)知可建立如图所示的空间直角坐标系:
∵,
,∴
,∴
,
,
,
,
∴,
,
,
,
设平面的法向量为
,平面
的法向量为
,
∴,
,
即,
,
,取
,
∴.
∴所求的二面角的余弦值为.
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