Question

【题目】已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为（0，5）．
（1）求b，c的值；
（2）若对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=2x2+bx+c，所以不等式f（x）＜0即为2x2+bx+c＜0，

由不等式2x2+bx+c＜0的解集为（0，5），

所以方程2x2+bx+c=0的两个根为0和5，

所以 ；

（2）解：由（1）知：f（x）=2x2﹣10x，

所以“对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等价于

“对任意x∈[﹣1，1]，不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立”，

即：对任意x∈[﹣1，1]，不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立，

所以t≤（﹣2x2+10x+2）min，x∈[﹣1，1]，

令g（x）=﹣2x2+10x+2，x∈[﹣1，1]，

则 ，

所以g（x）=﹣2x2+10x+2在[﹣1，1]上为增函数，

所以gmin（x）=g（﹣1）=﹣10，

所以t≤﹣10，即t的取值范围为（﹣∞，﹣10]．

另解：由（Ⅰ）知：f（x）=2x2﹣10x，

所以“对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x）+t≤2恒成立”等价于

“对任意x∈[﹣1，1]，不等式2x2﹣10x+t﹣2≤0恒成立”，

令g（x）=2x2﹣10x+t﹣2，x∈[﹣1，1]，则gmax（x）≤0，x∈[﹣1，1]，

因为g（x）=2x2﹣10x+t﹣2在[﹣1，1]上为减函数，

所以gmax（x）=g（﹣1）=10+t≤0，

所以t≤﹣10，即t的取值范围为（﹣∞，﹣10]．

【解析】（1）由题意可得方程2x2+bx+c=0的两个根为0和5，由韦达定理，解方程可得b，c的值；（2）由题意可得对任意x∈[﹣1，1]，不等式2x2﹣10x+t≤2恒成立，即对任意x∈[﹣1，1]，不等式t≤﹣2x2+10x+2恒成立，所以t≤（﹣2x2+10x+2）min ， x∈[﹣1，1]，由二次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围； 另外：令g（x）=2x2﹣10x+t﹣2，x∈[﹣1，1]，求得g（x）的单调性和最大值，即可得到所求范围．