Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求证： ；
（Ⅲ）若a=b，且BC边上的中线AM长为 ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2asinA， ∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA，
即sin（B+C）=2sinAsinAsinA=2sinAsinA，
∵sinA＞0，∴sinA= ，
∵a≤b≤c，
∴0＜A≤ ，
∴A= ；
（Ⅱ）∵a2﹣（2﹣ ）bc=b2+c2﹣2bccos ﹣（2﹣ ）bc=b2+c2﹣2bc=（b﹣c）2≥0，
∴a2≥（2﹣ ）bc；
（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B= ，
∴C= ，
设AC=x，则MC= x，
又AM= ，
在△AMC中，由余弦定理得AC2+MC2﹣2ACMCcosC=AM2 ，
即x2+（ ）2﹣2x cos120°=7，
解得：x=2，
则S△ABC= x2sin = ．
【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，利用两角和与差的正弦函数公式及二倍角的正弦函数公式化简，再利用诱导公式化简求出sinA的值，即可确定出A的度数；（Ⅱ）表示出所证不等式左右两边之差，利用余弦定理及完全平方公式性质化简，判断差的正负即可得证；（Ⅲ）由a=b，得到A=B，求出C的度数，在三角形AMC中，由AM的长与cosC的值，求出AC的长，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
【考点精析】本题主要考查了余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握余弦定理:;;才能正确解答此题．