Question

【题目】如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．
（1）求a、r的值；
（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；
（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：将（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1与x轴交于（±1，0），

则A（1，0），B（﹣1，0），

代入圆x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，则r=1，

∴a的值为1，r的值为1

（2）解：设M（x0，y0），则丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，

当y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，

∴当y0=0时，丨MN丨min= ，

当y≥0时，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣ ）2+ ，

当y0= 时，丨MN丨min=

（3）解：由题意可知：PQ的方程y=k（x﹣1）， ，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，

则x=1，y=k﹣1，则Q（k﹣1，k2﹣2k），

则 ，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，

解得：x=1或x= ，

则P点坐标为（ ，﹣ ），

由∠QBA=∠PBA，

则kBP=﹣kBQ，即 =﹣ ，

即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1± （负值舍去），

因此存在实根k=1+ ，使得∠QBA=∠PBA

【解析】（1）由将点代入抛物线方程，即可求得a的值，求得A，B点坐标，代入圆方程，即可r的值；（2）根据两点之间的距离公式，采用分类讨论，根据二次函数的性质，即可求得|MN|的最小值；（3）将直线方程，代入抛物线及圆的方程求得Q及P点坐标，由kBP=﹣kBQ ， 即可求得k的值，因此存在实根k=1+ ，使得∠QBA=∠PBA．