题目内容
10．四棱锥P-ABCD的底面为正方形，边长为a，且PD=a，PA=PC=$\sqrt{2}$a，在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．分析 证PD垂直于平面ABCD内的两条相交线，可得PD⊥平面ABCD．当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大，即球心到各个面的距离均相等，联想到用体积法求解．
解答 解：∵PD=a，AD=a，PA=$\sqrt{2}$a，
∴PD2+DA2=PA2，同理∴∠PDA=90°．
即PD⊥DA，PD⊥DC，∵AO∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD．
设此球半径为R，最大的球应与四棱锥各个面都相切，
设球心为S，连SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分为五个棱锥，设它们的高均为R
∵VP-ABCD=VS-PDA+VS-PDC+VS-ABCD+VS-PAB+VS-PBC
∴$\frac{1}{3}×a×a×a$=$\frac{1}{3}$R（2×$\frac{1}{2}×a×a$+2×$\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$）
∴R=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．
∴球的最大半径为$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a
故答案为：$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$a．
点评 本题主要考查棱锥的性质以及内切外接的相关知识点．“内切”和“外接”等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，例如本例中球内切于四棱锥中时，球与四棱锥的五个面相切，即球心到五个面的距离相等．求体积或运用体和解决问题时，经常使用等积变形，即把一个几何体割补成其它几个几何体的和或差．
练习册系列答案
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