题目内容
6.设函数f(x)=lnx(lnx-1)在点(1,0)处的切线是一次函数g(x)=ax+b.(1)求a,b的值;
(2)令F(x)=x[f′(x)+g′(x)],求F(x)在(0,+∞)内的极值.
分析 (1)求出原函数的导函数,得到f′(1)=-1,即a=-1,再由(1,0)在直线g(x)=ax+b上求得b值;
(2)求出f′(x),g′(x),代入F(x)=x[f′(x)+g′(x)],然后求F(x)的导函数,由导函数的符号判断函数的单调性,求出极值点,代入函数F(x)求得极值.
解答 解:(1)由f(x)=lnx(lnx-1),得f′(x)=$\frac{1}{x}(lnx-1)+\frac{1}{x}lnx=\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}$.
∴f′(1)=-1,即a=-1.
又(1,0)在直线g(x)=ax+b上,∴a+b=0,即b=-a=1;
(2)f′(x)=$\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}$,g′(x)=-1,
∴F(x)=x[f′(x)+g′(x)]=x[$\frac{2}{x}lnx-\frac{1}{x}-1$]=2lnx-x-1.
F′(x)=$\frac{2}{x}-1=\frac{2-x}{x}$,
当x∈(0,2)时,F′(x)>0;当x∈(2,+∞)时,F′(x)<0.
∴当x=2时,函数F(x)取得极大值为F(2)=2ln2-3,无极小值.
点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的极值,是中档题.
练习册系列答案
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