题目内容

函数f(x)=(
1
3
)
6+x-x2
的定义域为M,函数g(x)=4x-2x+1(x∈M)
(1)求M;    
(2)求函数f(x)的单调区间(直接写出答案);
(3)求函数g(x)的值域.
分析:(1)利用被开方数大于大于0,可求函数的定义域;
(2)利用指数函数单调减,结合二次函数的单调性,可得结论;
(3)利用换元法,转化为二次函数,即可求函数g(x)的值域.
解答:解:(1)由6+x-x2≥0,可得-2≤x≤3,∴函数定义域M为[-2,3];
(2)单调递减区间为[-2,
1
2
)
,单调递增区间为[
1
2
,3]

(3)令t=2x
1
4
<t<8),则
∵g(x)=4x-2x+1
∴y=t2-2t=(t-1)2-1
1
4
<t<8
∴t=1时,ymin=-1;t=8时,ymax=48
∴函数g(x)的值域为[-1,48]
点评:本题考查函数的单调性,考查函数的定义域,考查函数的最值,考查学生分析转化问题的能力,属于中档题.
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