题目内容

对于函数f(x)=
13
|x|3-ax2+(2-a)|x|+b
,若f(x)有六个不同的单调区间,则a的取值范围为
(1,2)
(1,2)
分析:由题意可知,f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)有三个不同的单调区间,利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围.
解答:解:∵f(-x)=
1
3
|-x|3-a(-x)2+(2-a)|-x|+b=
1
3
|x|3-ax2+(2-a)|x|=f(x),
∴f(x)为偶函数,又f(x)有六个不同的单调区间,
∴当x>0时,f(x)=
1
3
x3-ax2+(2-a)x+b有三个不同的单调区间,
∴f′(x)=x2-2ax+2-a与x正半轴有两交点,即x2-2ax+2-a=0有两异正根,
△=4a2-4(2-a)>0
2a>0
2-a>0
,解得1<a<2.
故答案为:1<a<2.
点评:本题考查带绝对值的函数,考查利用导数研究函数的单调性,明确当x>0时,f(x)有三个不同的单调区间,是解决问题的关键,突出转化思想与函数与方程思想的考查运用,属于难题.
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