Question

已知函数f(x)=(

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3

)x-log2x，正实数a、b、c成公差为正数的等差数列，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c中，有可能成立的个数为

3

．

Answer 1

分析：根据函数的单调性，结合数列是等差数列，设出a，b，c的关系，推出a，b，c，d的大小关系，得到选项推出结果．

解答：解：f(x)=(

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3

)x-log2x，是由y=(

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3

)x 和 y=-log₂x，
两个函数中，每个函数都是减函数，所以，函数为减函数．
∵正实数a，b，c是公差为正数的等差数列，
∴不妨设0＜a＜b＜c
∵f（a）f（b）f（c）＜0
则f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0   或者f（a）＞0，f（b）＞0，f（c）＜0
综合以上两种可能，恒有 f（c）＜0
所以可能有①d＜a；②d＜b；④d＜c，正确．
故答案为：3．

点评：本题考查指数函数与对数函数的基本性质，正确估计函数值与a，b，c的大小关系是解题的关键，考查计算能力，逻辑推理能力．