题目内容
【题目】已知函数
，
，其中
为自然对数的底数.
（1）求不等式
的解集；
（2）若函数
有两个极值点
，
(
)(若
是函数
的极大值或极小值，则m为函数的极值点，极大值点与极小值点统称为极值点).
①求a的取值范围；
②证明：
.
【答案】（1）
.（2）①
；②证明见解析
【解析】
（1）不等式变形为
，令
，利用导数研究
的单调性，结合
，可得不等式的解集；
（2）①求出导函数
，再由的导数研究的单调性，得的正负，从而得
的单调性，由的极小值小于0及零点存在定理可得
的范围，②由极值点定义知
是
的极大值点，
是极小值点，从而有
，
设
，则
为偶函数，利用导数研究的单调性得
，从而可证题设结论．
（1）由
得
令，∴
，令
当
时，
，递减；当
时，
，递增
∴
注意到，结合单调性知不等式的解集为
（2）
，由题意知
有
上有两个不等的实根
令
，令
当
时，
，递减；当
时，
，递增，
∴
要使有两个零点，则
，此时注意到
，∴在
和
上各有一个零点，满足题意，故的取值范围为
②由
为的2个极值点，且
∴满足
且由①知
∴在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增
则是的极大值点，是极小值点
∴
设，则为偶函数
，
∴
在
上单调递增
由时，
，∴在
上单调递增
∴
，
又为偶函数，∴，
，∴
从而
．
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