Question

当p₁，p₂，…，p_n均为正数时，称

n

p1+p2+…+pn

为p₁，p₂，…，p_n的“均倒数”．已知数列{a_n}的各项均为正数，且其前n项的“均倒数”为

1

2n+1

．
（Ⅰ）试求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设cn=

an

2n+1

，试判断并说明c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）已知bn=tan(t＞0)，记数列{b_n}的前n项和为S_n，试求

Sn+1

Sn

的值；
（Ⅳ）设函数f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的实数λ，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）≤0恒成立？

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用条件求得a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）和a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1），两式作差就可求出数列{a_n}的通项公式（注意检验n=1是否成立）；     
（Ⅱ）利用 （Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出c_n+1-c_n再利用函数的单调性就可判断出c_n+1-c_n（n∈N^*）的符号；
（Ⅲ）利用 （Ⅰ）求得的数列{a_n}的通项公式代入即可求出数列{b_n}的通项公式，再对等比数列{b_n}分公比等于1和不等于1两种情况分别求和即可找到

Sn+1

Sn

的值；
（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列{c_n}是单调递增数列，c₁=1是其最小项，所以f（x）≤0恒成立可以转化为-x²+4x≤c₁=1，再解不等式就可找到对应的最大的实数λ．

解答：解：（Ⅰ）由题得：a₁+a₂++a_n-1+a_n=n（2n+1）   ①，
a₁+a₂++a_n-1=（n-1）（2n-1）           ②，
两式相减，得a_n=4n-1（n≥2）．
又

1

a1

=

1

2×1+1

，解得a₁=3=4×1-1，
∴a_n=4n-1（n∈N⁺）．（4分）
（Ⅱ）∵c_n=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，c_n+1=

an+1

2n+3

=2-

3

2n+3

，
∴c_n+1-c_n=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，即c_n+1＞c_n．（7分）
（Ⅲ）∵b_n=t^a_n=t^4n-1（t＞0），
∴S_n=b₁+b₂++b_n=t³+t⁷++t^4n-1，
当t=1时，S_n=n，

Sn+1

Sn

=

n+1

n

；（8分）
当t＞0且t≠1时，S_n=

t3(1-t4n)

1-t4

，

Sn+1

Sn

=

1-t4n+4

1-t4n

．（10分）
综上得，

Sn+1

Sn

=

n+1 n ，t=1 1-t4n+4 1-t4n ，t＞0，t≠1

（11分）
（Ⅳ）由（Ⅱ）知数列{c_n}是单调递增数列，c₁=1是其的最小项，即c_n≥c₁=1．
假设存在最大实数，使当x≤λ时，对于一切正整数n，都有f（x）=-x²+4x-

an

2n+1

≤0恒成立，
则-x²+4x≤

an

2n+1

=cn（n∈N⁺）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0．
解之得x≥2+

3

或x≤2-

3

．
于是，可取λ=2-

3

（14分）

点评：本题是对数列知识．函数知识以及恒成立问题的综合考查．在利用等比数列的求和公式时，一定要看公比的取值，在不确定的情况下，要分清况讨论．