题目内容
【题目】已知函数
（
且
）.
（1）若
的定义域为
，判断的单调性，并加以说明；
（2）当
时，是否存在
，
，使得在区间上的值域为
，若存在，求
的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）当
时，
为减函数，当
时，为增函数.证明见解析；（2）存在，
【解析】
（1）求出函数定义域，利用定义法证明
函数单调性，再分类讨论得函数单调性；
（2）根据定义域和值域，结合（1）所得单调性，将问题转化为方程
有两个大于3的不同的实数根，利用根的分布求解.
（1）
或
.由于的定义域为
，则
.
设
，有
，
故当时，为减函数，当时，为增函数.
（2）若在上的值域为
，
由（1）知当时，为减函数.
则
，
即
，又
，
即
，
为方程的大于3的两个不同的实数根.
从而
得.
故当时，存在满足题意条件的，.
练习册系列答案
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【题目】已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工60人，为调查他们的睡眠情况，逦过分层抽样获得12名员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时）
甲部门 | 6 | 7 | 8 | ||
乙部门 | 6 | 6.5 | 7 | 7.5 | |
丙部门 | 5.5 | 6 | 6.5 | 7 | 8.5 |
（1）求该单位乙部门的员工人数；
（2）若将每天睡眠时间不少于7小时视为睡眠充足，现从该单位任抽取1人，估计抽到的此人为睡眠充足者的概率；
（3）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为A，乙部门选出的员工记为B.假设所有员工睡眠的时间相互独立.求A的睡眠时间不少于B的睡眠时间的概率.
