题目内容
【题目】在直角坐标系xOy中,直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为,l与C交于M,N两点.
(1)求C的直角坐标方程和的取值范围;
(2)求MN中点H的轨迹的参数方程.
【答案】(1);或(2)(为参数,且或).
【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(2)利用直线的垂直的充要条件的应用求出结果.
解:(1)C的直角坐标方程为,
即,是以原点为圆心的单位圆
当时,显然直线l与曲线C相离,不合题意.
∴,所以直线l的斜率存在.
∴直线l的方程可写为
∵直线l与曲线C交于M,N两点,
∴圆心O到直线l的距离,
解得
∴或.
(2)(法一)直线l的参数方程为
(t为参数,或)
设M,N,H对应的参数分别为,,,则,
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得:
∴,∴,
又点H的坐标满足,
(t为参数,或)
∴点H的轨迹的参数方程为
即(为参数,或)
(法二)
设点,则由可知,
当时有
即,整理得
当时,点H与原点重合,也满足上式.
∴点H的轨迹的参数方程为
(为参数,且或).
【题目】某家政公司对部分员工的服务进行民意调查,调查按各项服务标准进行量化评分,婴幼儿保姆部对40~50岁和20~30岁各20名女保姆的调查结果如下:
分数 年龄 | |||||
40~50岁 | 0 | 2 | 4 | 7 | 7 |
20~30岁 | 3 | 5 | 5 | 5 | 2 |
(1)若规定评分不低于80分为优秀保姆,试分别估计这两个年龄段保姆的优秀率;
(2)按照大于或等于80分为优秀保姆,80分以下为非优秀保姆统计.作出列联表,并判断能否有的把握认为对保姆工作质量的评价是否优秀与年龄有关.
(3)从所有成绩在70分以上的人中按年龄利用分层抽样抽取10名保姆,再从这10人中选取3人给大家作经验报告,设抽到40~50岁的保姆的人数为,求出的分布列与期望值.
下面的临界值表供参考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中.