题目内容

16.已知椭圆C的两个焦点是$({0,-\sqrt{3}})$和$({0,\sqrt{3}})$,并且经过点($\frac{\sqrt{3}}{2}$,1),抛物线E的顶点在坐标原点,焦点恰好是椭圆C的右顶点A2
(Ⅰ)求椭圆C和抛物线E的标准方程;
(Ⅱ)过点A2作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2;l1交抛物线E于点A、B,l2交抛物线E于点G、H,其中l1的斜率为1,求$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的值.

分析 (I)设椭圆的标准方程,利用椭圆的定义,求出a,即可得出椭圆的方程,从而可得右顶点F的坐标,即可求出抛物线E的标准方程;
(Ⅱ)设l1的方程:y=k(x-1),l2的方程y=-$\frac{1}{k}$(x-1),与抛物线方程联立,利用韦达定理,结合向量的数量积公式,利用基本不等式,即可求出$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$的最小值.

解答 解:(I)设椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$(a>b>0),焦距为2c,
则由题意得 c=$\sqrt{3}$,2a=$\sqrt{\frac{3}{4}+(1+\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{\frac{3}{4}+(1-\sqrt{3})^{2}}$=4,
∴a=2,b2=a2-c2=1,
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$.   …(4分)
∴右顶点F的坐标为(1,0).
设抛物线E的标准方程为y2=2px(p>0),
∴$\frac{p}{2}=1$,
∴p=2
∴抛物线E的标准方程为y2=4x. …(6分)
(Ⅱ)设l1的方程:y=k(x-1),l2的方程y=-$\frac{1}{k}$(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),G(x3,y3),H(x4,y4),
由y=k(x-1),代入抛物线方程消去y得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
∴x1+x2=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$,x1x2=1.
由y=-$\frac{1}{k}$(x-1),代入抛物线方程消去y得:x2-(4k2+2)x+1=0,
∴x3+x4=4k2+2,x3x4=1,…(9分)
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$=($\overrightarrow{AF}$+$\overrightarrow{FG}$)•($\overrightarrow{HF}$+$\overrightarrow{FB}$)
=|$\overrightarrow{AF}$||$\overrightarrow{FB}$|+|$\overrightarrow{FG}$||$\overrightarrow{HF}$|
=|x1+1|•|x2+1|+|x3+1|•|x4+1|
=(x1x2+x1+x2+1)+(x3x4+x3+x4+1)
=8+$\frac{4}{{k}^{2}}$+4k2≥8+2$\sqrt{\frac{4}{{k}^{2}}•4{k}^{2}}$=16.
当且仅当$\frac{4}{{k}^{2}}$=4k2,即k=±1时,$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{HB}$有最小值16.…(13分)

点评 本题考查椭圆和抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

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