Question

2．各项均为正整数的数列a₁，a₂，a₃，a₄中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a₄-a₁=28，则q的所有可能的值构成的集合为{$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{9}$}．．

Answer 1

分析 由题意设这4个数分别为a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+28，其中a₁，d均为正整数，由已知条件可得a₁和d的关系式，可得d的取值范围，取整数进而可得a₁，可得q值

解答 解：由题意设这4个数分别为a₁，a₁+d，a₁+2d，a₁+28，其中a₁，d均为正整数，
∵后三项依次成公比为q的等比数列
∴（a₁+2d）²=（a₁+d）（a₁+28）
整理得a₁=$\frac{4d（7-d）}{3d-28}$＞0，
∴（d-7）（3d-28）＜0，解得7＜d＜$\frac{28}{3}$，
则d可能为8，9，
当d=8时，a₁=8，q=$\frac{3}{2}$；
当d=9时，a₁=72，q=$\frac{10}{9}$；
∴q的所有可能值构成的集合为{$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{9}$}．
故答案为：{$\frac{3}{2}$，$\frac{10}{9}$}．

点评 本题考查等差数列和等比数列的综合，涉及分类讨论的思想，属中档题．