题目内容

7.已知函数f(x)=alnx+$\frac{1}{2}$x2-(1+a)x(x>0).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0在(0,+∞)内恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)先求出函数f(x)的导数,通过讨论a的范围,从而求出函数的单调区间;
(2)先求出f(1)=-$\frac{1}{2}$-a,通过讨论a的范围,结合函数的单调性,从而求出a的范围.

解答 解:(1)∵f′(x)=$\frac{a}{x}$+x-(1+a),
①当a≤0时,若0<x<1,则f′(x)<0,
故函数f(x)的单调减区间是(0,1);
若x>1,则f′(x)>0,故函数f(x)的增区间是(1,+∞).
②当0<a<1时,函数f(x)的单调减区间是(a,1);
单调增区间是(0,a),(1,+∞).
③当a=1时,则f′(x)=$\frac{{(x-1)}^{2}}{x}$≥0,
故函数f(x)的单调增区间是(0,+∞);
④当a>1时,函数f(x)的单调递减区间是(1,a);
函数f(x)的单调递增区间是(0,1),(a,+∞).
(2)由于f(1)=-$\frac{1}{2}$-a,
当a>0时,f(1)<0,
此时f(x)≥0对定义域内的任意x不是恒成立的.
当a≤0时,由(1)得f(x)在区间(0,+∞)上的极小值,也是最小值为f(1)=-$\frac{1}{2}$-a,
此时,f(1)≥0,解得a≤-$\frac{1}{2}$,
故实数a的取值范围是(-∞,-$\frac{1}{2}$].

点评 本题考查了函数的单调性,考查导数的应用,分类讨论思想,是一道中档题.

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