Question

7．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（1+a）x（x＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-（1+a），
①当a≤0时，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，
故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；
若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．
②当0＜a＜1时，函数f（x）的单调减区间是（a，1）；
单调增区间是（0，a），（1，+∞）．
③当a=1时，则f′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$≥0，
故函数f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
④当a＞1时，函数f（x）的单调递减区间是（1，a）；
函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
当a＞0时，f（1）＜0，
此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，由（1）得f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=-$\frac{1}{2}$-a，
此时，f（1）≥0，解得a≤-$\frac{1}{2}$，
故实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，分类讨论思想，是一道中档题．