题目内容
【题目】已知函数f(x)=4cos ωx·sin+a(ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求a和ω的值;
(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间.
【答案】(1)a=-1. ω=1.(2).
【解析】
(1)先由三角的两角和的正弦公式得到函数表达式,再由最大值为当sin=1时,f(x)取得最大值2+1+a=3+a,求出a即可,由图像得到f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,进而得到周期和ω=1;(2)f(x)=sin,根据由+2kπ≤≤+2kπ,解出x的范围得到单调递减区间.
(1)f(x)=4cosωx·sin+a
=4cosωx·+a
=2sinωxcos ωx+2cos2ωx-1+1+a
=sin2ωx+cos 2ωx+1+a
=2sin+1+a.
当sin=1时,f(x)取得最大值2+1+a=3+a.
又f(x)最高点的纵坐标为2,∴3+a=2,即a=-1.
又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π,
∴f(x)的最小正周期为T=π,
∴2ω==2,ω=1.
(2)由(1)得f(x)=2sin,
由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
令k=0,得≤x≤.
∴函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为.
【题目】随着我国中医学的发展,药用昆虫的使用相应愈来愈多.每年春暖以后至寒冬前,是昆虫大量活动与繁殖季节,易于采集各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数与一定范围内的温度有关,于是科研人员在3月份的31天中随机挑选了5天进行研究,现收集了该种药用昆虫的5组观测数据如下表:
日期 | 2日 | 7日 | 15日 | 22日 | 30日 |
温度 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
产卵数/个 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)从这5天中任选2天,记这两天药用昆虫的产卵分别为,,求事件“,均不小于25”的概率;
(2)科研人员确定的研究方案是:先从这五组数据中任选2组,用剩下的3组数据建立关于的线性回归方程,再对被选取的2组数据进行检验.
(ⅰ)若选取的是3月2日与30日的两组数据,请根据3月7日、15日和22日这三天的数据,求出关于的线性回归方程;
(ⅱ)若由线性回归方程得到的估计数据与选出的检验数据的误差均不超过2个,则认为得到的线性回归方程是可靠的,试问(ⅰ)中所得的线性回归方程是否可靠?
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.
【题目】刘老师是一位经验丰富的高三理科班班主任,经长期研究,他发现高中理科班的学生的数学成绩(总分150分)与理综成绩(物理、化学与生物的综合,总分300分)具有较强的线性相关性,以下是刘老师随机选取的八名学生在高考中的数学得分x与理综得分y(如下表):
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学分数x | 52 | 64 | 87 | 96 | 105 | 123 | 132 | 141 |
理综分数y | 112 | 132 | 177 | 190 | 218 | 239 | 257 | 275 |
参考数据及公式: .
(1)求出y关于x的线性回归方程;
(2)若小汪高考数学110分,请你预测他理综得分约为多少分?(精确到整数位);
(3)小金同学的文科一般,语文与英语一起能稳定在215分左右.如果他的目标是在
高考总分冲击600分,请你帮他估算他的数学与理综大约分别至少需要拿到多少分?(精确到整数位).