题目内容
设
、
、
是任意的非零平面向量，且互不平行，则下列四个命题中的真命题是（ ）
①(
•
)
-(
•
)
=
； ②|
|-|
|＜|
-
|；
③(
•
)
-(
•
)
与
垂直； ④λ
+μ
=
?λ=0，μ=0（λ，μ为实数）．
| a |
| b |
| c |
①(
| a |
| b |
| c |
| c |
| a |
| b |
| 0 |
| a |
| b |
| a |
| b |
③(
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| 0 |
分析：由题意知①中研究向量的数量积与数乘运算，根据运算规则判断，②中研究向量差的模与模的差的关系，根据其几何意义判断，③中研究向量的垂直关系，根据数量积为0验证，④中是平面向量基本定理的考查，根据平面向量基本定理判断．
解答：解：∵
与 (
•
)
共线，
与 (
•
)
共线，由题设条件知：
与
不共线的任意的非零向量，知①不正确，
由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故②正确，
因为[(
•
)
-(
•
)
]•
=0，
故 (
•
)
-(
•
)
与
垂直，所以命题③正确；
根据平面向量基本定理得：λ
+μ
=
?λ=0，μ=0（λ，μ为实数），故④正确．
综上知②③④是正确命题
故选B．
| c |
| a |
| b |
| c |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
由向量的减法法则知，两向量差的模一定大于两向量模的差，故②正确，
因为[(
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
故 (
| b |
| c |
| a |
| c |
| a |
| b |
| c |
根据平面向量基本定理得：λ
| a |
| b |
| 0 |
综上知②③④是正确命题
故选B．
点评：本题考查数量积的运算，数乘向量的运算，解题的关键是理解向量数量积运算及其几何意义，理解数量积为0对应的几何意义是两向量垂直．本题的选项设置不合理，其实只要能判断①不正确，就可得出正确答案．
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