题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)当时,若函数
在
上的最大值和最小值的和为1,求实数
的值.
【答案】(1)答案见解析.(2)
【解析】
(1)利用的导函数
,求得
的单调区间.
(2)利用的导函数
,求得
的单调区间,对
分成
,
,
三种情况进行分类讨论,结合
在区间
上最大值和最小的和为
,求得实数
的值.
(1)当a=3时,f(x)=2x3﹣3x2+1,x∈R,
∴f'(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),
令f'(x)>0得,x<0或x>1;令f'(x)<0得,0<x<1,
∴函数f(x)的的单调增区间为(﹣∞,0)和(1,+∞),单调递减区间为(0,1),
(2)函数f(x)=2x3﹣ax2+1,a>0,
∴f'(x)=6x2﹣2ax=2x(3x﹣a),
令f'(x)=0得,x=0或,
列表:
x | (﹣∞,0) | 0 | (0, | ( | |
f'(x) | + | 0 | ﹣ | 0 | + |
f(x) | 递增 | 极大值 | 递减 | 极小值 | 递增 |
①当0<a≤2时,0,
∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,]上单调递减,在[
,1]上单调递增,
又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f(1)=3﹣a≥1,f()=1
,且0<f(
)<1,
∴f(x)max=f(1)=3﹣a,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,
∴(3﹣a)+(﹣1﹣a)=1,
∴a,
②当2<a<3时,0,
∴函数f(]上单调递减,在[
,1]上单调递增,
又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(0)=1,f(1)=3﹣a,f()=1
,且0<f(
)<1,0<f(1)<1,
∴f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,
∴1+(﹣1﹣a)=1,
∴a=﹣1,不符合题意,舍去,
③当a≥3时,,
∴函数f(x)在[﹣1,0]上单调递增,在[0,1]上单调递减,
∴f(x)max=f(0)=1,
又∵f(﹣1)=﹣1﹣a,f(1)=3﹣a,∴f(x)min=f(﹣1)=﹣1﹣a,
∴1+(﹣1﹣a)=1,
∴a=﹣1,不符合题意,舍去,
综上所述,若函数f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值的和为1,实数a的值为.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】中石化集团通过与安哥拉国家石油公司合作,获得了安哥拉深海油田区块的开采权,集团在某些区块随机初步勘探了部分旧井,取得了地质资料.进入全面勘探时期后集团按网络点来布置井位来进行全面勘探.由于勘探一口井的费用很高,如果新设计的井位与原有井位重合或接近,便利用旧井的地质资料,不必打这口新井,以节约勘探费用.勘探初期数据资料见下表:
井位 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
坐标 | ||||||
钻探深度 | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
出油量 | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
(1)若16号旧井位置满足线性分布,借助前5组数据所求得的回归直线方程为
,且
,求
,并估计
的预报值;
(2)现准备勘探新井7(1,25),若通过,1,3,5,7号井计算出的,
的值与(1)中
,
的值的差不超过10%,则使用位置最接近的旧井
,否则在新位置打井,请判断可否使用旧井?(注:其中
的计算结果用四舍五入法保留一位小数)
参考数据:
参考公式: