Question

【题目】如图，垂直圆O所在的平面，是圆O的一条直径，C为圆周上异于A，B的动点，D为弦的中点，.

（1）证明：平面平面；

（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据垂直圆O所在的平面，有，易证.由线面垂直的判定定理得到平面，然后由面面垂直的判定定理证明.

（2）建立空间直角坐标系，分别求得平面，平面的一个法向量，代入二面角的向量公式求解.

（1）证明：因为垂直圆O所在的平面，所以，

因为D为弦的中点，O为圆O的圆心，所以.

因为，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）如图所示：

以O为原点，建立空间直角坐标系.

则

从而

设平面的法向量为，

则，即

令，得.

由（1）可得平面的一个法向量为

则平面与平面所成锐二面角的余弦值为