题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)记函数的极值点为
,若
,且
,求证:
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】分析:(1)对求导,由
得到函数的单调区间。
(2)利用极值求出,然后构造函数,利用函数单调性、最值进行求解。
详解:(1),令
,则
,
当时,
,当
时,
,
则函数的增区间为
,减区间为
.
(2)由可得,所以
的极值点为
.
于是,等价于
,
由得
且
.
由整理得,
,即
.
等价于,①
令,则
.
式①整理得,其中
.
设,
.
只需证明当时,
.
又,设
,
则
当时,
,
在
上单调递减;
当时,
,
在
上单调递增.
所以,;
注意到,,
,
所以,存在,使得
,
注意到,,而
,所以
.
于是,由可得
或
;由
可得
.
在
上单调递增,在
上单调递减.
于是,,注意到,
,
,
所以,,也即
,其中
.
于是,.
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