Question

10．关于x的方程x²+x+p=0（p∈R）至少存在一个根x₀，若|x₀|=1，则p=-2或0或1．

Answer 1

分析 分x₀为实数和虚数两种情况求解，当x₀为实数时，直接代入球p，当x₀为虚数时，由|x₀|=1，借助于1的立方虚根求得p值．

解答 解：当x₀∈R 时，
由|x₀|=1，得x₀=±1，
若x₀=1，则1+1+p=0，即p=-2，此时方程x²+x+p=0化为方程x²+x-2=0，有两实数根；
若x₀=-1，则（-1）²-1+p=0，即p=0，此时方程x²+x+p=0化为方程x²+x=0，有两实数根；
当x₀为虚数时，
若关于x的方程x²+x+p=0（p∈R）至少存在一个根x₀，且|x₀|=1，
则x₀为1的一个立方虚根，由此可知p=1．
故答案为：-2或0或1．

点评 本题考查实系数一元二次方程根的问题，考查了代入法，是基础题．