题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
.点
在椭圆上，点
，
，
的面积为
，
为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线
交椭圆于
，
两点，直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，且
，证明：
的面积是定值，并求此定值.
【答案】（1）
（2）证明见解析；定值为
【解析】
（1）根据点
在椭圆
上，点
，
，
的面积为，得到
求解.
（2）分直线
的斜率不存在时，设直线：
（
且
），直接求得M，N的坐标求解.当直线的斜率存在时，设点
，
，直线：
，与联立，得到m，k的关系，再利用弦长公式求得
，以及原点
到直线的距离，代入
求解.
（1）由已知得，∴
，
又
，∴
，∴椭圆：.
（2）当直线的斜率不存在时，设直线：（且），代入，得
，
则
，∴
，则
，
当直线的斜率存在时，设点，，直线：，代入，
得
，∴
，
，
，
，
∴
，满足
，
，
又原点到直线的距离
，
∴
，为定值.
综上，
的面积为定值，定值为.
【题目】某省的一个气象站观测点在连续4天里记录的AQI指数M与当天的空气水平可见度y（单位：cm）的情况如下表：
M | 900 | 700 | 300 | 100 |
y | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
该省某市2019年12月份AQI指数M的频数分布表如下：
M |
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|
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频数 | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
（1）设
，若x与y之间具有线性关系，试根据上述数据求出y关于x的线性回归方程；
（2）王先生在该市开了一家洗车店，洗车店每天的平均收入与AQI指数的相关关系如下表：
M |
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日均收入（元） | -2000 | -1000 | 2000 | 6000 | 8000 |
估计王先生的洗车店2019年12月份每天的平均收入．
附参考公式：
，其中
【题目】某校高三（1）班在一次语文测试结束后，发现同学们在背诵内容方面失分较为严重.为了提升背诵效果，班主任倡议大家在早、晚读时间站起来大声诵读，为了解同学们对站起来大声诵读的态度，对全班50名同学进行调查，将调查结果进行整理后制成下表：
考试分数 |
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频数 | 5 | 10 | 15 | 5 | 10 | 5 |
赞成人数 | 4 | 6 | 9 | 3 | 6 | 4 |
（1）欲使测试优秀率为30%，则优秀分数线应定为多少分？
（2）依据第1问的结果及样本数据研究是否赞成站起来大声诵读的态度与考试成绩是否优秀的关系，列出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为赞成与否的态度与成绩是否优秀有关系.
参考公式及数据：
，
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
