题目内容
【题目】如图所示，已知椭圆
过点
，离心率为
，左、右焦点分别为
、
，点
为直线
上且不在
轴上的任意一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
、
和
、
，
为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线、的斜线分别为
、
.
（i）证明：
；
（ii）问直线
上是否存在点，使得直线
、
、
、
的斜率
、
、
、
满足
？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
；（2）（i）见解析；（ii）
【解析】
（1）利用椭圆过已知点和离心率，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得；
（2）（i）把直线PF1、PF2的方程联立求得交点的坐标，代入直线x+y＝2上，整理得
；
（ii）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF1和椭圆的方程根据韦达定理表示出xA+xB和xAxB，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由kOA+kOB+kOC+kOD＝0推断出k1+k2＝0或k1k2＝1，分别讨论求得p．
（1）∵椭圆过点
，
，∴
，故所求椭圆方程为
；
（2）（i）由于F1（﹣1，0）、F2（1，0），PF1，PF2的斜率分别是k1，k2，且点P不在x轴上，
所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0．又直线PF1、PF2的方程分别为y＝k1（x+1），y＝k2（x﹣1），
联立方程解得
，所以
，由于点P在直线x+y＝2上，
所以
，故
（ii）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），D（xD，yD），联立直线PF1和椭圆的方程得
，化简得（2k12+1）x2+4k12x+2k12﹣2＝0，
因此
，所以
，
同理可得：
，故由kOA+kOB+kOC+kOD＝0得k1+k2＝0或k1k2＝1，
当k1+k2＝0时，由（1）的结论可得k2＝﹣2，解得P点的坐标为（0，2）
当k1k2＝1时，由（1）的结论可得k2＝3或k2＝﹣1（舍去），
此时直线CD的方程为y＝3（x﹣1）与x+y＝2联立得x＝
，
，所以
，
综上所述，满足条件的点P的坐标分别为，P（0，2）．
