Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点A（-1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k_OP+k_OA=k_PA
（1）求点P的轨迹C的方程
（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且

PQ

=λ

OA

，直线OP与QA交于点M．
问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设点P（x，y）．由于k_OP+k_OA=k_PA，利用斜率计算公式可得

y

x

+(-1)=

y-1

x+1

，化简即为点P的轨迹方程．
（2）假设存在点P(x1，

x

2 1

)，Q(x2，

x

2 2

)．使得△PQA和△PAM的面积满足S_△PQA=2S_△PAM，分两种情况讨论：
一种是点M为线段AQ的中点，另一种是点A是QM的一个三等分点．利用

PQ

=λ

OA

，可得PQ∥OA，得k_PQ=k_AO=-1．再利用分点坐标公式，解出即可判断是否符合条件的点P存在．

解答：解：（1）设点P（x，y）．∵k_OP+k_OA=k_PA，∴

y

x

+(-1)=

y-1

x+1

，化为y=x²（x≠0，-1）．即为点P的轨迹方程．
（2）假设存在点P(x1，

x

2 1

)，Q(x2，

x

2 2

)．使得△PQA和△PAM的面积满足
S_△PQA=2S_△PAM，
①如图所示，点M为线段AQ的中点．
∵

PQ

=λ

OA

，∴PQ∥OA，得k_PQ=k_AO=-1．
∴

x 2 2 - x 2 1 x2-x1 =-1 -1+x2 2 = x1 2

，解得

x1=-1 x2=0

．
此时P（-1，1），Q（0，0）分别与A，O重合，因此不符合题意．
故假设不成立，此时不存在满足条件的点P．
②如图所示，当点M在QA的延长线时，由S_△PQA=2S_△PAM，
可得

QA

=2

AM

，
∵

PQ

=λ

OA

，∴

PO

=2

OM

，PQ∥OA．
由PQ∥OA，可得k_PQ=k_AO=-1．
设M（m，n）．
由

QA

=2

AM

，

PO

=2

OM

，
可得：-1-x₂=2（m+1），-x₁=2m，
化为x₁-x₂=3．
联立

x1-x2=3 x 2 2 - x 2 1 x2-x1 =-1

，解得

x1=1 x2=-2

，
此时，P（1，1）满足条件．
综上可知：P（1，1）满足条件．

点评：熟练掌握抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式、中点坐标计算公式、三角形的面积计算公式、反证法等是解题的关键．