题目内容
已知函数.
(Ⅰ)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当时,恒成立,求整数的最大值;
(Ⅲ)试证明:.
(Ⅰ)在区间上是减函数;
(Ⅱ)当时,恒成立,
即在上恒成立,
构造,;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
解析试题分析:(Ⅰ)由题
故在区间上是减函数; 3分
(Ⅱ)当时,恒成立,
即在上恒成立,
取,则h′(x), 5分
再取则
故在上单调递增,
而,
故在上存在唯一实数根,
故时,时,
故
故 7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:
令,
又
即: 12分
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及不等式证明。
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及恒成立问题、不等式证明问题,通过构造函数,转化成了研究函数的单调性及最值。
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