题目内容

已知函数
(Ⅰ)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当时,恒成立,求整数的最大值;
(Ⅲ)试证明:.

(Ⅰ)在区间上是减函数;
(Ⅱ)当时,恒成立,
上恒成立,
构造
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:

解析试题分析:(Ⅰ)由题
在区间上是减函数;               3分
(Ⅱ)当时,恒成立,
上恒成立,
,则h′(x),       5分
再取 
上单调递增,

上存在唯一实数根
时,时, 

                    7分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:




即:          12分
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值及不等式证明。
点评:难题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及恒成立问题、不等式证明问题,通过构造函数,转化成了研究函数的单调性及最值。

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