Question

19．已知函数f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x²+kx+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）为R上的单调增函数，写出k的取值范围（不需证明）．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的性质即可求f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）为R上的单调增函数，等价为当x＞0时，函数单调递增，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）若x＜0，则-x＞0，
则f（-x）=x²-kx+1，
∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=x²-kx+1=-f（x），
即f（x）=-x²+kx-1，x＜0，
当x=0时，f（0）=0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+kx+1，}&{x＞0}\\{0，}&{x=0}\\{-{x}^{2}+kx-1，}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）若函数f（x）为R上的单调增函数，
则只需要当x＞0时，函数单调递增，即可，
当x＞0时，函数的对称轴为x=-$\frac{k}{2}$，
则当-$\frac{k}{2}$≤0，即k≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
即k的取值范围是[0，+∞）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，结合函数奇偶性的定义以及一元二次函数的性质是解决本题的关键．