设正项等比数列{an}的前n项之积为Tn.且T14=128.则$\frac{1}{{a} {7}}$+$\frac{1}{{a} {8}}$的最小值是( )A．$\sqrt{2}$B．$\sqrt{3}$C．2$\sqrt{2}$D．2$\sqrt{3}$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

20．设正项等比数列{a_n}的前n项之积为T_n，且T₁₄=128，则$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$的最小值是（　　）

A．

$\sqrt{2}$

B．

$\sqrt{3}$

C．

2$\sqrt{2}$

D．

2$\sqrt{3}$

分析由等比数列可得a₇a₈=2，可得$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\frac{1}{2}$（a₇+a₈），由基本不等式求最值可得．

解答解：由题意和等比数列的性质可得T₁₄=（a₇a₈）⁷=128，
结合数列的项为正数可得a₇a₈=2，
∴$\frac{1}{{a}_{7}}$+$\frac{1}{{a}_{8}}$=$\frac{{a}_{7}+{a}_{8}}{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\frac{1}{2}$（a₇+a₈）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{{a}_{7}{a}_{8}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当a₇=a₈=$\sqrt{2}$时取等号，
故选：A．

点评本题考查等比数列的性质和基本不等式求最值，属基础题．

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