题目内容
11.已知函数$f(x)=[2sin(x+\frac{π}{3})+sinx]cosx-\sqrt{3}{sin^2}x,x∈R$.(1)求函数f(x)的最小周期;
(2)若存在${x_0}∈[0,\frac{5π}{12}]$,使不等式f(x0)<m成立,求m的取值范围.
分析 (1)利用三角函数的恒等变换化简函数函数f(x)的解析式为2sin(2x+$\frac{π}{3}$),从而求出它的最小正周期.
(2)根据${x_0}∈[0,\frac{5π}{12}]$,可得 sin(2x0+$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],f(x0)的值域为[-1,2],若存在${x_0}∈[0,\frac{5π}{12}]$使不等式f(x0)<m成立,m需大于f(x0)的最小值.
解答 解:(1)∵$f(x)=[2sin(x+\frac{π}{3})+sinx]cosx-\sqrt{3}{sin^2}x,x∈R$
=[2sinx+$\sqrt{3}$cosx]cosx-$\frac{\sqrt{3}(1-cos2x)}{2}$
=sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x
=2sin(2x+$\frac{π}{3}$)
∴函数f(x)的最小周期T=$\frac{2π}{2}=π$.
(2)∵${x_0}∈[0,\frac{5π}{12}]$,
∴2x0+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$,$\frac{7π}{6}$],
∴sin(2x0+$\frac{π}{3}$)∈[-$\frac{1}{2}$,1],
∴f(x0)的值域为[-1,2].
∵存在${x_0}∈[0,\frac{5π}{12}]$,使f(x)<m成立,
∴m>-1,
故实数m的取值范围为(-1,+∞).
点评 本题主要考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性及其求法,三角函数的值域,注意理解“存在${x_0}∈[0,\frac{5π}{12}]$,使不等式f(x0)<m成立,”的意义,属于中档题.
A. | $\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{20}{31}$ | C. | $\frac{9}{14}$ | D. | $\frac{11}{17}$ |
A. | f(x)=$\frac{1}{x}$-x | B. | f(x)=x3 | C. | f(x)=lnx+ex | D. | f(x)=-x2+2x |
A. | $-\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | 6 | D. | -6 |
A. | $\sqrt{2}$ | B. | $\sqrt{3}$ | C. | 2$\sqrt{2}$ | D. | 2$\sqrt{3}$ |
A. | 9 | B. | 8 | C. | 7 | D. | 6 |