题目内容
（2011•广东模拟）等比数列{an} 中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列．
（Ⅰ）求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 {bn} 满足 bn=
，记数列 {bn} 的前n项和为Sn，证明Sn＜
．
| 第一列 | 第二列 | 第三列 | |
| 第一行 | 3 | 2 | 10 |
| 第二行 | 6 | 4 | 14 |
| 第三行 | 9 | 8 | 18 |
（Ⅱ）若数列 {bn} 满足 bn=
| 1 | ||
(n+2)log3(
|
| 3 |
| 4 |
分析：（I）当a1=3时，不合题意；当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意；当a1=10时，不合题意．因此a1=2，a2=6，a3=18，由此能求出数列{an} 的通项公式．
（II）因为bn=
，所以bn=
，由此利用裂项求和法能够证明Sn＜
．
（II）因为bn=
| 1 | ||
(n+2)log3(
|
| 1 |
| n(n+2) |
| 3 |
| 4 |
解答：解：（I）当a1=3时，不合题意；
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意；
当a1=10时，不合题意．…（4分）（只要找出正确的一组就给3分）
因此a1=2，a2=6，a3=18，
所以公比q=3，…（4分）
故an=2•3n-1．…（6分）
（II）因为bn=
，
所以bn=
…（9分）
所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=
+
+…
=
(1-
+
-
+
-
+…+
-
)…（12分）
=
(1+
-
-
)＜
，
故Sn＜
．…（14分）
当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时，符合题意；
当a1=10时，不合题意．…（4分）（只要找出正确的一组就给3分）
因此a1=2，a2=6，a3=18，
所以公比q=3，…（4分）
故an=2•3n-1．…（6分）
（II）因为bn=
| 1 | ||
(n+2)log3(
|
所以bn=
| 1 |
| n(n+2) |
所以Sn=b1+b2+b3+…+bn=
| 1 |
| 1×3 |
| 1 |
| 2×4 |
| 1 |
| n(n+2) |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+2 |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 3 |
| 4 |
故Sn＜
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查数列的通项公式和数列前n项和的求法，考查不等式的证明．解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．
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