题目内容
(本小题满分14分)
已知函数f(x)=m(x-1)2-2x+3+lnx(m≥1).
(Ⅰ)当时,求函数f(x)在区间[1,3]上的极小值;
(Ⅱ)求证:函数f(x)存在单调递减区间[a,b];
(Ⅲ)是否存在实数m,使曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l与曲线C有且只有一个公共点?若存在,求出实数m的值,若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)(x>0).
当时,,令,得x1=2,x2=.
f(x),的变化情况如下表:x (0,) (,2) 2 (2,+∞) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
(Ⅱ)令=0,得mx2-(m+2)x+1=0. (*)
因为△=(m+2)2-4m=m2+4>0,所以方程(*)存在两个不等实根,记为a,b(a<b).
因为m≥1,所以
所以a>0,b>0,即方程(*)有两个不等的正根,因此<0的解为(a,b).
故函数f(x)存在单调递减区间.………………………… 8分
(Ⅲ)因为,所以曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处的切线l为y=-x+2.
若切线l与曲线C只有一个公共点,则方程m(x-1)2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根.
显然x=1是该方程的一个根.
令g(x)=m(x-1)2-x+1+lnx,则.
当m=1时,有≥0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意.
当m>1时,令=0,得x1=1,x2=,则x2∈(0,1),易得g(x)在x1处取到极小值,在x2处取到极大值.
所以g(x2)>g(x1)=0,又当x→0时,g(x)→-∞,所以函数g(x)在(0,)内也有一个解,即当m>1时,不合题意.
综上,存在实数m,当m=1时,曲线C:y=f(x)在点P(1,1)处切线l与C有且只有一个公共点 14分
解析