题目内容
【题目】根据《山东省全民健身实施计划（2016-2020年）》，到2020年乡镇（街道）普遍建有“两个一”工程，即一个全民健身活动中心或灯光篮球场、一个多功能运动场.某市把甲、乙、丙、丁四个多功能运动场全部免费为市民开放.
（1）在一次全民健身活动中，四个多功能运动场的使用场数如图，用分层抽样的方法从甲、乙、丙、丁四场馆的使用场数中依次抽取
，
，
，
共25场，在，，，中随机取两数，求这两数和
的分布列和数学期望；
（2）设四个多功能运动场一个月内各场使用次数之和为
，其相应维修费用为
元，根据统计，得到如下表的与数据：
| 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 |
| 2302 | 2708 | 2996 | 3219 | 3401 | 3555 | 3689 |
| 2.49 | 2.99 | 3.55 | 4.00 | 4.49 | 4.99 | 5.49 |
（i）用最小二乘法求
与之间的回归直线方程；
（ii）
叫做运动场月惠值，根据（i）的结论，试估计这四个多功能运动场月惠值最大时的值.
参考数据和公式：
，
，
，
，
，
.
【答案】（1）分布列见解析，
；（2）（i）
；（ii）20.
【解析】
（1）根据题意，确定抽样比，得到
，
，
，
的值分别为5，6，9，5；所以这两数和
的所有可能的取值为10，11，14，15，求出对应概率，即可得出分布列与数学期望；
（2）（i）由最小二乘法，结合题中数据，求出，的估计值，从而可得回归直线方程；
（ii）由（i）得到
，所以
，设
，用导数的方法求其最值即可.
（1）根据题中所给的条形图，易知总场数为100，所以抽样比例为
，
所以，，，的值分别为5，6，9，5.
所以这两数和的所有可能的取值为10，11，14，15.
于是
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为：
| 10 | 11 | 14 | 15 |
|
|
|
|
|
所以
.
（2）（i）因为
，
，
，
，
所以
，
即
，
所以
与
之间的回归直线方程为.
（ii）因为，
所以，
设，
则
，
令
，
在
恒成立，
则
在为减函数，又
，
所以当
时，
，
，所以
在
上单调递增，
当
时，
，
，所以在
上单调递减，
所以估计这四个多功能运动场月惠值最大时的值为20.
