题目内容
(本小题满分14分)设椭圆与抛物线
的焦点均在
轴上,
的中心和
的顶点均为原点,从每条曲线上至少取两个点,将其坐标记录于下表中:
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1)求,
的标准方程, 并分别求出它们的离心率
;
2)设直线与椭圆
交于不同的两点
,且
(其中
坐标原点),请问是否存在这样的直线
过抛物线
的焦点
若存在,求出直线
的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1),
,
,
。(2)
。
【解析】
试题分析:(1)∵焦点在x轴上,且椭圆与抛物线
的中心与顶点在原点,又过点
,
故点在椭圆上,点
在抛物线
上
,
∴点在
上,
设
把点代入得
,
由抛物线知
(2)由得
若l与x轴垂直,则l:x=1
由
设不满足
若存在直线l不与x轴垂直,可设为
设
由
所求的直线为
考点:椭圆与抛物线的标准方程及简单性质;直线与椭圆的综合应用。
点评:(1)做第一问的关键是确定哪两个点在椭圆上,哪两个点在抛物线上。(2)在求直线与圆锥曲线相交的有关问题时,通常采用设而不求的方法,在求解过程中一般采取步骤为:设点→联立方程→消元→韦达定理。
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