题目内容

【题目】已知函数 (k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求k的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x>0,g(x)<1+e2

【答案】
(1)解:∵f′(x)= ,x∈(0,+∞),

且y=f(x)在(1,f(1))处的切线与x轴平行,

∴f′(1)=0,

∴k=1;


(2)解:由(1)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),

令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),

当x∈(0,1)时,h(x)>0,当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,

又ex>0,

∴x∈(0,1)时,f′(x)>0,

x∈(1,+∞)时,f′x)<0,

∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;


(3)证明:∵g(x)=(x2+x)f′(x),

∴g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),

x>0,g(x)<1+e21﹣x﹣xlnx< (1+e2),

由(2)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),

∴h′(x)=﹣(lnx﹣lne2),x∈(0,+∞),

∴x∈(0,e2)时,h′(x)>0,h(x)递增,

x∈(e2,+∞)时,h(x)<0,h(x)递减,

∴h(x)max=h(e2)=1+e2

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e2

设m(x)=ex﹣(x+1),

∴m′(x)=ex﹣1=ex﹣e0

∴x∈(0,+∞)时,m′(x)>0,m(x)递增,

∴m(x)>m(0)=0,

∴x∈(0,+∞)时,m(x)>0,

>1,

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e2 (1+e2),

x>0,g(x)<1+e2


【解析】(1)先求出f′(x)= ,x∈(0,+∞),由y=f(x)在(1,
f(1))处的切线与x轴平行,得f′(1)=0,从而求出k=1;(2)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),令h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),求出h(x)的导数,从而得f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减;(3)因g(x)= (1﹣x﹣xlnx),x∈(0,+∞),由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞),得1﹣x﹣xlnx≤1+e2 , 设m(x)=ex﹣(x+1),得m(x)>m(0)=0,进而1﹣x﹣xlnx≤1+e2 (1+e2),问题得以证明.
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识,掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减,以及对函数的最大(小)值与导数的理解,了解求函数上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数内的极值;(2)/span>将函数的各极值与端点处的函数值比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网