题目内容
【题目】如图,是南北方向的一条公路,
是北偏东
方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线
.为方便游客光,拟过曲线
上的某点分别修建与公路
,
垂直的两条道路
,
,且
,
的造价分别为5万元
百米,40万元
百米,建立如图所示的直角坐标系
,则曲线符合函数
模型,设
,修建两条道路
,
的总造价为
万元,题中所涉及的长度单位均为百米.
(1)求解析式;
(2)当为多少时,总造价
最低?并求出最低造价.
【答案】(1);(2)当
时,总造价最低,最低造价为30万元.
【解析】
(1)求出的坐标,直线
的方程,点
到直线
的距离,即可求
解析式;
(2)利用导数的方法最低造价.
解:(1)在如图所示的直角坐标系中,因为曲线的方程为
,
所以点坐标为
,
直线的方程为
,
则点到直线
的距离为
,
又的造价为5万元
百米,
的造价为40万元
百米.
则两条道路总造价为.
(2)因为,
所以,
令,得
,列表如下:
4 | |||
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以当时,函数
有最小值,最小值为
.
答:(1)两条道路,
总造价
为
;
(2)当时,总造价最低,最低造价为30万元.
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