Question

【题目】设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数

（1）求b、c的值．

（2）求g（x）的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）根据g（x）=f（x）﹣f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x2+2bx+c能够求出b与c的值；

（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．g'（x）=0时的x函数g（x）取到极值．

（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c．

从而g（x）=f（x）﹣f'（x）=x3+bx2+cx﹣（3x2+2bx+c）=x3+（b﹣3）x2+（c﹣2b）x﹣c

是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，由奇函数定义得b=3；

（2）由（Ⅰ）知g（x）=x3﹣6x，从而g'（x）=3x2﹣6，

当g'（x）＞0时，x＜﹣或x＞，

当g'（x）＜0时，﹣＜x＜，

由此可知，g（x）的单调递增区间为（﹣），（，+∞）；单调递减区间为（﹣，）；

g（x）在x=﹣时取得极大值，极大值为4，

g（x）在x=时取得极小值，极小值为4．