Question

4．已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）（a＞0，且a≠1）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明你的判断；
（3）当x∈[2，3]时，若函数f（x）的最小值为1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的定义域为（1，+∞），不关于原点对称即可下结论；
（2）利用对数运算性质得出f（x）=log_a$\frac{x+1}{x-1}$，讨论a的取值范围，然后单调性的定义进行判断和证明；
（3）在（2）的结论下利用函数的单调性求解．

解答 解：（1）由f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）有意义得：
    $\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，
解得：x＞1．
∴f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）的定义域为（1，+∞），不关于原点对称．
∴f（x）=log_a（x+1）-log_a（x-1）为非奇非偶函数．
（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；
当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
证明如下：
设x₁，x₂是（1，+∞）上任意两个数，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=log_a$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}$-log_a$\frac{{x}_{2}+1}{{x}_{2}-1}$=log_a$\frac{{x}_{1}+1}{{x}_{1}-1}•\frac{{x}_{2}-1}{{x}_{2}+1}$=log_a$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}+{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}-1}$．
∵1＜x1＜x2
∴-x₁+x₂＞x₁-x₂
∴$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-{x}_{1}+{x}_{2}-1}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}-{x}_{2}-1}＞1$
①当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），f（x）为减函数．
②当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），f（x）为增函数．
综上所述：当a＞1时，f（x）为减函数；当0＜a＜1时，f（x）为增函数．
（3）由（2）知，当a＞1时，f（x）在[2，3]单调递减，
∴f_min（x）=f（3）=1，即log_a4-log_a2=1，解得a=2；
当0＜a＜1时，f（x）在[2，3]上是单调递增，
∴f_min（x）=f（2）=1，即log_a3-log_a1=1，解得a=3（舍）．
∴a=2

点评 本题考查了对数函数的定义域，单调性的判断和应用，属于中档题．