题目内容
【题目】如图,多面体中,
两两垂直,且
,
,
,
.
(Ⅰ) 若点在线段
上,且
,求证:
平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成的角的正弦值;
(Ⅲ)求锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) ;(Ⅲ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)分别取的中点
,连接
,由已知条件推导出四边形
是平行四边形,从而得到
,即可证明
平面
;(Ⅱ)以
点为原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
,利用法向量即可求出直线
与平面
所成的角的正弦值;(Ⅲ)分别求出平面
的法向量和平面
的法向量,利用向量法即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)分别取的中点
,连接
,则有
,
.
∵,∴
,又∵
,∴
,
∴四边形是平行四边形, ∴
,
又∵平面
,
平面
,∴
平面
;
(Ⅱ)如图,以点为原点,分别以
所在直线为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
设平面的一个法向量
,则有
,化简,得
,
令,得
,
设直线与平面
所成的角为
,则有
,
∴直线与平面
所成的角的正弦值为
;
(Ⅲ)由已知平面的法向量
,
,
设平面的一个法向量
,则有
∴,∴
,令
,则
,
设锐二面角的平面角为
,
则
,
∴锐二面角的余弦值为
.
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