题目内容
【题目】如图,四边形为菱形,四边形
为平行四边形,设
与
相交于点
,
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若与平面
所成角为60°,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)根(1)要证面面垂直,需要找线面垂直,本题中重点分析线段,利用条件底面是菱形可得
,通过全等可知
,从而
,故
是平面
的垂线,从而得证;(2)涉及二面角的计算,一般需要建系设点,计算平面的法向量,利用二面角与法向量夹角之间的关系处理,需要注意建系时分析清楚哪三条线互相垂直.
试题解析:
(1)证明:连接,
∵四边形为菱形,
∵,
在和
中,
,
,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴平面
,
∵平面
,
∴平面平面
;
(2)
解法一:过作
垂线,垂足为
,连接
,易得
为
与面
所成的角,
∴,
∵,
∴平面
,
∴为二面角
的平面角,
可求得,
在中由余弦定理可得:
,
∴二面角的余弦值为
;
解法二:如图,在平面内,过
作
的垂线,交
于
点,由(1)可知,平面
平面
,
∴平面
,
∴直线两两互相垂直,
分别为
轴建立空间直角坐标系
,
易得为
与平面
所成的角,∴
,
则,
,
设平面的一个法向量为
,则
且
,
∴,且
取,可得平面
的一个法向量为
,
同理可求得平面的一个法向量为
,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
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